概率论作为数学的一个分支，是在公理系统上建立的严格表达分析事件发生概率的理论体系。事件的概率用0到1之间的数字表达。0表示不可能发生，而1表示确定发生。随机分析以随机过程为研究对象，建立了随机过程对随机过程的积分。其中伊藤随机微积分在随机分析、偏微分方程、金融数学等领域影响深远。

概率论和随机分析在数学建模和风险评估中有广泛的应用。许多消费产品，例如汽车和消费电子产品，在产品设计中使用可靠性理论来降低故障概率。政府在环境监管、权利分析和金融监管中也应用概率方法。金融业使用随机分析模型定价并做出交易决策。

作为概率论和随机分析的一个分支，粗糙路径理论将经典的伊藤微积分理论拓展到了高度震荡动力系统，旨在建立数学理论用以表达受驱动系统的演化。通过随机过程的有效提升，粗糙路径理论定义求解了一大类随机过程驱动的微分方程，其中包括布朗运动、连续半鞅、马尔可夫过程、高斯过程等。粗糙路径理论在金融数学和数据科学有广泛应用，如随机波动模型和金融数据分析。

近年来，随着大数据深度学习时代的到来，机器学习在自然语言处理、图像识别、自动驾驶等方面取得了重大突破。粗糙路径理论，特别是数据流的特征，在时间序列数据建模中有广泛深远的应用。特征可以作为一个普遍非线性的数据流变换，也可以作为深度神经网络中的一层，具有自动的反向传播和GPU加速。与深度学习结合，数据流的特征在字符识别、医学数据分析和图像识别等方面有广泛应用，达到了现有的最优精确度。这是一个快速发展且具有巨大潜力的研究领域。